Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form \(f(x)=ax^2+bc+c\) mit \(a\neq 0\). Ihr Graph ist eine Parabel.
Parabeln kommen im Alltag in vielen Situationen vor, z. B. beim Wurf eines Balles folgt dieser einer Parabelbahn, der sog. Wurfparabel. Oftmals folgen auch Bauwerke (annähernd) einer Parabelform, z. B. Brückenbögen oder Tunnelportale.
2. Parabeln der Form \(y=ax^2\)
Mithilfe des nachfolgenden GeoGebraApplets kann der Einfluss der Variablen a auf den Graphen einer quadratischen Funktionen untersucht werden.
Mit dem Taschenrechner und seiner Tabellenfunktionen können Wertetabellen und anschließend die Graphen zu verschiedenen quadratischen Funktionen erstellt werden. Davon ausgehend können dann grundlegende Eigenschaften quadratischer Funktionen und ihrer Graphen, den Parabeln, erarbeitet werden.
Mithilfe der sog. Punktprobe soll überprüft werden, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt.
Dazu werden die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung eingesetzt und überprüft, ob dadurch eine wahre Aussage (Punkt liegt auf der Parabel) oder eine falsche Aussage (Punkt liegt nicht auf der Parabel) entsteht.
Mithilfe der allgemeinen Funktionsgleichung \(y=ax^2\) und den Koordinaten eines Punktes auf der Parabel, lässt sich der Öffnungsfaktor und damit die Funktionsgleichung bestimmen.
Mithilfe der grundlegenden Eigenschaften von quadratischen Funktionen und etwas Übung ist es relativ leicht möglich, vorgegebenen Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zuzuordnen.
Parabeln mit der Gleichung \(y=ax^2+y_S\) sind im Vergleich zur "Mutter aller Parabeln" \(y=x^2\) nach oben/unten verschoben und gestreckt/gestaucht.
Für sie gelten folgende Eigenschaften:
die \(y\)-Achse ist Symmetrieachse
der Scheitelpunkt liegt auf der \(y\)-Achse und hat die Koordinaten \(S(0|y_S)\); je nach Öffnung der Parabel ist der Scheitelpunkt ein Maximum ("Berg") oder ein Minimum ("Tal")
Definitionsmenge ist \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\), Wertemenge ist \(\mathbb{W}=[y_S;+\infty[\), wenn \(a>0\) bzw. \(\mathbb{W}=]-\infty;y_S]\), wenn \(a<0\)
Mithilfe des nachfolgenden GeoGebraApplets kann der Einfluss der Variablen \(a\) und \(y_S\) auf den Graphen einer quadratischen Funktionen untersucht werden.
Parabeln mit der Gleichung \(y=a(x-x_S)^2\) sind im Vergleich zur "Mutter aller Parabeln" \(y=x^2\) nach rechts/links verschoben und gestreckt/gestaucht.
Sie haben folgende Eigenschaften:
der Scheitelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse und hat die Koordinaten \(S(x_S|0)\); je nach Öffnung der Parabel ist der Scheitelpunkt ein Maximum ("Berg") oder ein Minimum ("Tal")
Symmetrieachse ist die zur \(y\)-Achse parallele Gerade \(x=x_S\)
Definitionsmenge ist \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\), Wertemenge ist \(\mathbb{W}=[0;+\infty[=\mathbb{R}^+_0\), wenn \(a>0\) bzw. \(\mathbb{W}=]-\infty;0]=\mathbb{R}^-_0\), wenn \(a<0\)
Mithilfe des nachfolgenden GeoGebraApplets kann der Einfluss der Variablen \(a\) und \(x_S\) auf den Graphen einer quadratischen Funktionen untersucht werden.
Parabeln mit der Gleichung \(y=a(x-x_S)^2+y_S\) sind im Vergleich zur "Mutter aller Parabeln" \(y=x^2\) sowohl nach oben/unten (vertikal) als auch nach rechts/links (horizontal) verschoben und ggf. gestreckt/gestaucht. Der Scheitelpunkt hat die hat die Koordinaten \(S(x_S|y_S)\) und kann direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Diese Art der Funtionsgleichung bezeichnet man deshalb auch als Scheitel(punkts)form.
Mithilfe des nachfolgenden GeoGebraApplets kann der Einfluss der Variablen \(a\), \(x_S\) und \(y_S\) auf den Graphen einer quadratischen Funktionen untersucht werden.
Parabelgleichungen können auf zwei verschiedene Arten dargestellt werden:
in der sog. Scheitel(punkts)form \(y=a(x-x_S)^2+y_S\) Vorteil: der Seitelpunkt der Parabel lässt sich sehr leicht aus dem Funktionsterm ablesen
in der sog. allgemeinen Form \(y=ax^2+bx+c\) Vorteil: mit dieser Form kann sehr leicht weitergerechnet werden, z. B. um Schnittpunkte mit anderen Funktionen zu berechnen
Alternativ zur quadratischen Ergänzung kann der Scheitelpunkt einer Parabel auch mithilfe einer Formel aus der allgemeinen Form \(y=ax^2+bx+c\) berechnet werden:
\[S(-\frac{b}{2a}|c-\frac{b^2}{4a})\]
Wichtiger Hinweis zur Verwendung des Taschenrechners:
Sowohl bei Verwendung des Taschenrechners CASIO fx-7400GII als auch beim Taschenrechner TI-82 STATS von Texas Instruments muss folgendes beachtet werden:
beide Taschenrechner unterscheiden zwischen dem Minus-Zeichen als Vorzeichen und dem Minus-Zeichen als Rechenzeichen
sowohl um den Zähler- als auch um den Nennerterm muss eine Klammer gesetzt werden
Lösung zu WESTERMANN Mathematik 10II 23/5
LearningApp "Quadratische Funktionen beschreiben I“